Câu 1: (THPTQG 2017-MĐ104-Câu 7) Hàm số \( y = \frac{2x + 3}{x + 1} \) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3
B. 0
C. 2
D. 1
Có \( y' = \frac{-1}{(x + 1)^2} > 0, \forall x \neq -1 \) nên hàm số không có cực trị.
Câu 2: (DMH 2017-Câu 5) Tìm giá trị cực đại \( y_{CD} \) của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \).
A. \( y_{CD} = 4 \)
B. \( y_{CD} = 1 \)
C. \( y_{CD} = 0 \)
D. \( y_{CD} = -1 \)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị cực đại của hàm số bằng 4.
Câu 3: (ĐTN 2017-Câu 6) Cho hàm số \( y = \frac{x^2 + 3}{x + 1} \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Cực tiểu của hàm số bằng -3
B. Cực tiểu của hàm số bằng 1
C. Cực tiểu của hàm số bằng -6
D. Cực tiểu của hàm số bằng 2
Cách 1:
Ta có:
$\begin{array}{l} y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{(x + 1)}}\\ \Rightarrow y' = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0\\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = - 3}\\ {x = 1} \end{array}} \right. \end{array}$
Lập bảng biến thiên. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \) và giá trị cực tiểu bằng 2.
Cách 2:
Nên hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \) và giá trị cực tiểu bằng 2.
Câu 4: (THPTQG 2017-MĐ101-Câu 40) Đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1 \) có hai cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB?
A. P(1;0)
B. M(0;-1)
C. N(1;-10)
D. Q(-1;-10)
Ta có: \( y' = 3x^2 - 6x - 9 \) thực hiện phép chia y cho y' ta được số dư là \( y = -8x - 2 \).
Như thế điểm \( N(1;-10) \) thuộc đường thẳng \( AB \).
Câu 5: (THPTQG 2017-MĐ104-Câu 37) Tìm giá trị thực của tham số \( m \) để đường thẳng \( d: y = (2m - 1)x + 3 + m \) vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 1 \).
A. \( m = \frac{3}{2} \)
B. \( m = \frac{3}{4} \)
C. \( m = -\frac{1}{2} \)
D. \( m = \frac{1}{4} \)
Ta có \( y' = 3x^2 - 6x \).
Từ đó ta có tọa độ hai điểm cực trị \( A(0; 1), B(2; -3) \).
Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình \( y = -2x + 1 \).
Đường thẳng này vuông góc với đường thẳng \( y = (2m - 1)x + 3 + m \) khi và chỉ khi
$ (2m - 1)(-2) = -1 \Leftrightarrow m = \frac{3}{4} $
Câu 6: (THPTQG 2017-MĐ103-Câu 39) Đồ thị của hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 + 5 \) có hai điểm cực trị \( A \) và \( B \). Tính diện tích \( S \) của tam giác \( OAB \) với \( O \) là gốc tọa độ.
A. \( S = 9 \)
B. \( S = \frac{10}{3} \)
C. \( S = 5 \)
D. \( S = 10 \)
Ta có:
$\begin{array}{l} y' = - 3{x^2} + 6x\\ y' = 0\\ \Leftrightarrow - 3{x^2} + 6x = 0\\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = 2} \end{array}} \right. \end{array}$
Nên \( A(0; 5), B(2; 9) \) \( AB = \sqrt{(2 - 0)^2 + (9 - 5)^2} = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5} \)
Phương trình đường thẳng \( AB: y = 2x + 5 \).
Diện tích tam giác \( OAB \) là: \( S = 5 \).
A. 3
B. 0
C. 2
D. 1
Lời giải
Chọn BCó \( y' = \frac{-1}{(x + 1)^2} > 0, \forall x \neq -1 \) nên hàm số không có cực trị.
Câu 2: (DMH 2017-Câu 5) Tìm giá trị cực đại \( y_{CD} \) của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \).
A. \( y_{CD} = 4 \)
B. \( y_{CD} = 1 \)
C. \( y_{CD} = 0 \)
D. \( y_{CD} = -1 \)
Lời giải
Chọn ABảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị cực đại của hàm số bằng 4.
Câu 3: (ĐTN 2017-Câu 6) Cho hàm số \( y = \frac{x^2 + 3}{x + 1} \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Cực tiểu của hàm số bằng -3
B. Cực tiểu của hàm số bằng 1
C. Cực tiểu của hàm số bằng -6
D. Cực tiểu của hàm số bằng 2
Lời giải
Chọn DCách 1:
Ta có:
$\begin{array}{l} y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{(x + 1)}}\\ \Rightarrow y' = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0\\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = - 3}\\ {x = 1} \end{array}} \right. \end{array}$
Lập bảng biến thiên. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \) và giá trị cực tiểu bằng 2.
Cách 2:
Nên hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \) và giá trị cực tiểu bằng 2.
Câu 4: (THPTQG 2017-MĐ101-Câu 40) Đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1 \) có hai cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB?
A. P(1;0)
B. M(0;-1)
C. N(1;-10)
D. Q(-1;-10)
Lời giải
Chọn CTa có: \( y' = 3x^2 - 6x - 9 \) thực hiện phép chia y cho y' ta được số dư là \( y = -8x - 2 \).
Như thế điểm \( N(1;-10) \) thuộc đường thẳng \( AB \).
Câu 5: (THPTQG 2017-MĐ104-Câu 37) Tìm giá trị thực của tham số \( m \) để đường thẳng \( d: y = (2m - 1)x + 3 + m \) vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 1 \).
A. \( m = \frac{3}{2} \)
B. \( m = \frac{3}{4} \)
C. \( m = -\frac{1}{2} \)
D. \( m = \frac{1}{4} \)
Lời giải
Chọn BTa có \( y' = 3x^2 - 6x \).
Từ đó ta có tọa độ hai điểm cực trị \( A(0; 1), B(2; -3) \).
Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình \( y = -2x + 1 \).
Đường thẳng này vuông góc với đường thẳng \( y = (2m - 1)x + 3 + m \) khi và chỉ khi
$ (2m - 1)(-2) = -1 \Leftrightarrow m = \frac{3}{4} $
Câu 6: (THPTQG 2017-MĐ103-Câu 39) Đồ thị của hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 + 5 \) có hai điểm cực trị \( A \) và \( B \). Tính diện tích \( S \) của tam giác \( OAB \) với \( O \) là gốc tọa độ.
A. \( S = 9 \)
B. \( S = \frac{10}{3} \)
C. \( S = 5 \)
D. \( S = 10 \)
Lời giải
Chọn CTa có:
$\begin{array}{l} y' = - 3{x^2} + 6x\\ y' = 0\\ \Leftrightarrow - 3{x^2} + 6x = 0\\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = 2} \end{array}} \right. \end{array}$
Nên \( A(0; 5), B(2; 9) \) \( AB = \sqrt{(2 - 0)^2 + (9 - 5)^2} = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5} \)
Phương trình đường thẳng \( AB: y = 2x + 5 \).
Diện tích tam giác \( OAB \) là: \( S = 5 \).
Last edited: