I. Lý thuyết
1. Định nghĩa
Cho hàm số \( y = f(x) \) xác định và liên tục trên khoảng \((a; b)\) và điểm \( x_0 \in (a; b) \).
Định lý 1: Giả sử hàm số \( y = f(x) \) đạt cực trị tại điểm \( x_0 \). Khi đó nếu hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm tại \( x_0 \) thì \( f'(x_0) = 0 \).
Dưới đây là văn bản đã được chuyển đổi từ hình ảnh:
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lý 2: Giả sử hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên \( K = (x_0 - h; x_0 + h) \) và có đạo hàm trên \( K \) hoặc trên \( K \setminus \{x_0\} \), với \( h > 0 \).
Chú ý
Quy tắc 1
1. Định nghĩa
Cho hàm số \( y = f(x) \) xác định và liên tục trên khoảng \((a; b)\) và điểm \( x_0 \in (a; b) \).
- Nếu tồn tại số \( h > 0 \) sao cho \( f(x) < f(x_0) \) với mọi \( x \in (x_0 - h; x_0 + h) \) và \( x \ne x_0 \) thì ta nói hàm số \( y = f(x) \) đạt cực đại tại \( x_0 \).
- Nếu tồn tại số \( h > 0 \) sao cho \( f(x) > f(x_0) \) với mọi \( x \in (x_0 - h; x_0 + h) \) và \( x \ne x_0 \) thì ta nói hàm số \( y = f(x) \) đạt cực tiểu tại \( x_0 \).
- Nếu hàm số \( y = f(x) \) đạt cực đại tại \( x_0 \) thì \( x_0 \) được gọi là điểm cực đại của hàm số; \( f(x_0) \) được gọi là giá trị cực đại của hàm số, ký hiệu là \( f_{\max} (x_0) \), còn điểm \( M(x_0; f(x_0)) \) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
- Các điểm cực đại và cực tiểu đều được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại còn gọi là cực đại và được gọi chung là cực trị của hàm số.
Định lý 1: Giả sử hàm số \( y = f(x) \) đạt cực trị tại điểm \( x_0 \). Khi đó nếu hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm tại \( x_0 \) thì \( f'(x_0) = 0 \).
Dưới đây là văn bản đã được chuyển đổi từ hình ảnh:
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lý 2: Giả sử hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên \( K = (x_0 - h; x_0 + h) \) và có đạo hàm trên \( K \) hoặc trên \( K \setminus \{x_0\} \), với \( h > 0 \).
- Nếu \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (x_0 - h; x_0) \) và \( f'(x) < 0 \) trên \( (x_0; x_0 + h) \) thì \( x_0 \) là một điểm cực đại của hàm số \( y = f(x) \).
- Nếu \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (x_0 - h; x_0) \) và \( f'(x) > 0 \) trên \( (x_0; x_0 + h) \) thì \( x_0 \) là một điểm cực tiểu của hàm số \( y = f(x) \).
Chú ý
- Giá trị cực đại \( f(x_0) \) của hàm số \( y = f(x) \) nói chung không phải là giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên tập xác định của nó.
- Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số không có đạo hàm. Ngược lại, đạo hàm có thể bằng 0 tại điểm \( x_0 \), nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm \( x_0 \).
- Nếu \( f'(x_0) = 0, f''(x_0) > 0 \) thì \( x_0 \) là điểm cực tiểu.
- Nếu \( f'(x_0) = 0, f''(x_0) < 0 \) thì \( x_0 \) là điểm cực đại.
- Nếu \( f'(x_0) = 0, f''(x_0) = 0 \) thì phải lập bảng biến thiên để kết luận.
Quy tắc 1
- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
- Bước 2: Tính \( f'(x) \). Tìm các điểm tại đó \( f'(x) \) bằng 0 hoặc \( f'(x) \) không xác định.
- Bước 3: Lập bảng biến thiên.
- Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
- Bước 2: Tính \( f'(x) \). Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) và ký hiệu \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) là các nghiệm của phương trình.
- Bước 3: Tính $f''\left( x \right);$ $\,f''\left( {{x_i}} \right)$
- Bước 4: Dựa vào dấu của $\,f''\left( {{x_i}} \right)$, suy ra tính chất cực trị của điểm \( x_i \).